monoid の圈
category of monoids
全ての monoid を對象とし、monoid 準同型を射とする圈。一般に$ \bf Monと書く
category of monoids in nLab
全ての monoid を對象とし、全ての monoid 準同型を射とした集まりは圈$ \bf Monを成す
準同型$ f:M\to M'に就いて、始域$ dom(f)=M、終域$ cod(f)=M'
準同型$ f:M\to M',$ g:M'\to M''の合成$ f;g:M\to M''は準同型である
結合を保つ$ (f;g)(a\cdot b)=g(f(a\cdot b))=g(f(a)\cdot'f(b))=g(f(a))\cdot''g(f(b))=(f;g)(a)\cdot''(f;g)(b)
單位を保つ$ (f;g)(1)=g(f(1))=g(1')=1''
準同型$ f:M_0\to M_1,$ g:M_1\to M_2,$ h:M_2\to M_3の合成は結合律$ (f;g);h=f;(g;h)を滿たす
$ f(a_0)=a_1とする。$ gは準同型であるから$ g(a_1)は存在しこれを$ a_2とする。同じく$ h(a_2)=a_3とする。$ ((f;g);h)(a_0)=h((f;g)(a_0))=h(g(f(a_0)))=h(g(a_1))=h(a_2)=a_3。更に$ (f;(g;h))(a_0)=(g;h)(f(a_0))=h(g(f(a_0)))=h(g(a_1))=h(a_2)=a_3。故に
恆等寫像$ id:M\to Mは準同型であり、恆等射である
結合を保つ$ id(a\cdot b)=a\cdot b=id(a)\cdot id(b)
單位を保つ$ id(1)=1
準同型$ f:M\to M'と$ g:M'\to Mに就いて、恆等律$ id;f=f,$ g;id=gを滿たす
$ f(a)=a'とすると、$ (id;f)(a)=f(id(a))=f(a)=a'
$ g(a')=aとすると、$ (g;id)(a')=id(g(a'))=id(a)=a
monoidal 圈$ \bf Setの monoid 對象の圈$ {\bf Mon}({\bf Set})は monoid の圈$ \bf Monである